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MATEMÁTICAS ESENCIALES



HÉCTOR MANUEL NÚÑEZ RODRÍGUEZ



MATEMÁTICAS ESENCIALES, EJEMPLOS Y EJERCICIOS


























NÚÑEZ, Rodríguez Héctor Manuel.

Matemáticas esenciales. Ejemplos y ejercicios

Primera edición, 2015

© Héctor Manuel Núñez Rodríguez

Editorial Venera. Венера. Editado en América






ÍNDICE


INTRODUCCIÓN

CAPÍTULOS

1. USO DE LOS SIGNOS EN SUMA Y RESTA 4

2. USO DE LOS SIGNOS EN MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN 5

3 PROGRESIONES ARITMÉTICAS 6

4 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 8

5. CÁLCULO DE POTENCIAS 10

6. CÁLCULO DE RAÍCES 10

7. PRODUCTOS NOTABLES 11

8. FACTORIZACIÓN 12

9. POLINOMIOS MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN 13

10. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA 13

11. SISTEMAS DE 2 ECUACIONES CON 2 INCÓGNITAS 18

12. SISTEMAS DE 3 ECUACIONES CON 3 INCÓGNITAS 23

13. ECUACIONES DE 2º GRADO 24

14. SIGNOS DE AGRUPACIÓN 28

15. TEOREMA DE PITÁGORAS 28

16. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 29

17. LEYES DE SENOS Y COSENOS: TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS 31

18. SISTEMAS DE NUMERACIÓN 32

19. CONVERSIONES 34

20. ESCRITURA Y LECTURA DE MACRO Y MICRO CANTIDADES 35

21. NOTACIÓN CIENTÍFICA 36

22. FUNCIONES 37

23. LOGARITMOS Y ANTILOGARITMOS 38

24. ÁNGULOS 38

25. MATEMÁTICAS Y FÓRMULAS 40

26. ESTADÍSTICA. DESVIACIÓN, DESVIACIÓN MEDIA 45

27. RECTAS GEOMETRÍA ANALÍTICA 47

28. CIRCUNFERENCIAS 47

29. ELIPSES 48

30. PARÁBOLAS 49

31. LÍMITES 49

32. DERIVADAS 50

33. INTEGRALES 56

BIBLIOGRAFÍA













INTRODUCCIÓN

Este libro contiene prácticos ejercicios y didácticos ejemplos, que abarcan desde aritmética hasta cálculo, incluyendo temáticas fundamentales del álgebra y la geometría analítica.

Es un libro especializado en la enseñanza y el aprendizaje de la matemática, en sus niveles esenciales y surge de la problemática detectada en el conocimiento de las matemáticas en distintos niveles educativos.

Con la habilidad y criterio del docente, del padre de familia o del estudiante, este material puede constituir una útil y valiosa herramienta en el acercamiento y paulatino dominio del relevante y fascínate ámbito de la matemática.

Con las matemáticas, todo; sin las matemáticas nada, podría ser lema del mundo humano que ha creado y desarrollado el conocimiento matemático como una herramienta o un dispositivo fundamental, en el quehacer tecnológico civilizatorio.

Constituye el saber matemático además, una herramienta de desafío y crecimiento intelectual, de valor incalculable en el desarrollo de las capacidades cognitivas cerebrales más importantes.










  1. USO DE LOS SIGNOS EN SUMA Y RESTA:

La comprensión requerida para el uso correcto de los signos, es un objetivo fundamental al aprender matemáticas. Resulta útil manejar, para efectos de enseñanza, a los números positivos como activo y a los negativos como pasivo. Es decir con los números positivos tenemos y con los negativos debemos. Para entender los números negativos, es de gran utilidad la recta numérica incluyendo hacia la derecha del cero a los números positivos y hacia la izquierda del cero a los números negativos.


LEY DE LOS SIGNOS


+ x + = +

+ x - = -

- x + = -

- x - = +

(x ÷)

Válida para multiplicación y división, para suma y resta se puede utilizar recta numérica

En suma y resta:

Números con signos iguales se “incrementan” o “suman” conservando su signo.

Números con signos diferentes se “restan” previa colocación del signo del más “grande”.

Ejemplos resueltos uso de signos suma y resta:

-70+50= -20

-100+60-40

-80-50=-130

150-200=-50

-80+140=60

-200+300=100

-400-500=-900

-50+90-70+40=10


-60-80+70-50+30-100=-190 Se sugiere agrupar valores + y -

(-60-80-50-100= -290)

(70+30=100)

(-290+100= -190)


-3.4+2.8= -.6

½-3/4= -1/4

Ejemplos propuestos uso de signos suma y resta

-97+45= , -103+78= , -123+147= , 152- 247= , -190+98= , -96-68= , -135+179= , -89-43= , 182-277= , -383+258= , -202-405-358 = , -174+136-169= , -80-60+40-50= , 230-340+680= , -96-56+78-39+45= , -2270+1460+340= , -500+1500-3000-4500= , -50.9+20.4= , 70.8-90.6= , 20.5-40= ,-30.5-40.5= , -90.8-80.3= , 13/2-17/4= , 21/3-35/6= , -53/5 -27/10= , -42/4-34/8=


  1. USO DE LOS SIGNOS EN MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN:


El uso de los signos en multiplicación y división, puede entenderse fácilmente con la regla o ley de los signos correspondiente.

La regla de los signos para multiplicación y división, nunca se aplica para suma y resta.


Ejemplos resueltos uso de signos multiplicación y división

(-40)(+50)=-2000

(-90)(-60)= 5400

(+80)(-70)= -5600

(70) (-90)= -6300

(-40)(-50)(-30)= -60000

(-50)(+40)(+30)(-80)= 4800000

(-10.5)(+10.3)= -108.15

(-20.5)(-40)= 820

(-20/30)(+40/50)= -800/1500

(-35/43)(+54/97)(-68/79)= 128520/329509


(-100) ÷ (+20)= -5

(+300)÷ (-50)= -6

(-630) ÷ (-90)= 7

(+4000) ÷ (-100)= -40

(-30/40) ÷ (-80/70)= 2100/3200

(-30) ÷ (+1.5)= -20


Ejemplos propuestos uso de signos multiplicación y división

(-80)(+70)= , (-96)(-54)= , (46)(-95)= , (-118)(+103)= , (-53)(-12)= , (-30)(+40)(-70)= , (-130)(+70)= , (+80)(-50)(+60)= , (-90)(-60)(-70)= , (+30)(+40)(-90)(-50)= , (60)(-70)(+40)(80)(-30)= ,

(-10.8)(+30.2)= , (+50.9)(-60.7)= , (-83/69)(-78/85)= , (97/112)(-78/214)= , (-84/96)(+97/89)=


(-150) ÷ (+30)=, (-480) ÷ (-60)= , (810) ÷ (-90)= , (-550) ÷ (+110)= , (6000) ÷ (-200)= , (-750) ÷ (+50)= , (990) ÷ (-100)= , (-850) ÷ (-50)= , (-34/19) ÷ (+26/18)= , (-49/28) ÷ (-38/27)= , (-40.8) ÷ (+10.2)= , (-107.5) ÷ (-37.5)=



3. PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Las series numéricas son herramientas estimulantes del intelecto, del pensamiento lógico y dependiendo de su complejidad, desafían la destreza mental.

Desde su resolución por inspección lógica, se sugiere hacer anotaciones para ver de qué forma aumentan o disminuyen.

En los cálculos de sus elementos a partir de fórmulas, la identificación y sustitución de los datos, permite la obtención del valor buscado.

EJEMPLOS SERIES NUMÉRICAS RESUELTAS


94 – 89 – 84 – 79 – 74 69-64-59-54

.5 – 1 – 1.5 – 2 – 2.5 – 3 3.5-4-4.5-5

3 – 7 – 12 – 18 – 25 33-42-52-63

1/2 - 2/4 – 3/8 – 4/16 5/32-6/64-7/128-8/256

2 – 4 – 8 – 16 – 32 64-128-256-512


SERIES NUMÉRICAS PROPUESTAS

98 – 94 – 90 – 86 – 82 ______________________

2 – 5 – 7 – 10 – 12 – 15 ______________________

10 – 12 – 15 – 19 – 24 ______________________

5 – 8 – 12 – 15 – 19 – 22 _____________________

79 – 74 – 73 – 68 – 67 – 62 ___________________

.3 - .6 - .9 - 1.2 - 1.5 - 1.8 ______________________

9.9 - 9.4 - 8.9 - 8.4 - 7.9 - 7.4____________________

1 – 3 – 9 – 27 – 81 ___________________________

125 – 121 – 116 – 112 – 107 - 103 ________________

2/3 - 4/6 - 6/9 - 8/12 - 10/15 ______________________

1/5 - 5/10 - 10/15 - 15/20 - 20/25 ______________________

.8 - 1.6 - 2.4 - 3.2 – 4 - 4.8 _______________________

10 – 19 – 28 – 37- 46 – 55 _______________________

70 – 69 – 67 – 64 – 60 – 55 _____________________

2 - 4 – 8 – 16- 32 ____________________________

10 – 100 – 1000 – 10000 ______________________

20 – 25 – 23 – 28 – 26 – 31 – 29_________________

3 – 9 – 8 – 14 – 13 – 19 – 18 – 24_________________

76 – 71 – 73 – 68 – 70 – 65 - 67 ______________________

49 – 45 – 46 – 42 – 43 – 39 - 40_______________________



PROGRESIÓN ARITMÉTICA TÉRMINO ENÉSIMO. EJEMPLO

Hallar el 35º término de 2,5,8…

a=2 n=35 r=3

u=a+(n-1)r

u=2+(35-1)3

u=2+(34)3

u=2+102

u=104


PROGRESIÓN ARITMÉTICA TÉRMINO ENÉSIMO. EJERCICIO

Hallar el término:

24º de 5,8,11…

27º de 2,6,10…

32º de 7,13,19…

45º de 3,8,13…

79º de 6,13,20…

85º de 28,36,44…

97º de 36,45,54…

19º de -4,-1,2…

23º de -13,-9,-5…

39º de -99,-97,-95…

21º de 6,2,-2…

37º de 15,10,5…

56º de 9,1,-7…


PROGRESIÓN ARITMÉTICA. SUMA DE TÉRMINOS. EJEMPLO

Sumar los 9 primeros términos de 5,12,19…

S=(a+u)n

2

u=a+(n-1)r

u=5+(9-1)7

u=5+(8)7

u=5+56

u=61


S=(5+61)9

2

S=(66)9

2

S=594/2

S=297


PROGRESIÓN ARITMÉTICA. SUMA DE TÉRMINOS. EJERCICIO


Sumar los primeros


8 términos de 3,9,15…

9 términos de 8,15,22…

7 términos de 12,17,22

12 términos de 4,13,22 …

15 términos de 6,11,16…

13 términos de 14,20,26…

28 términos de 5,9,13…

35 términos de 7,15,23…

43 términos de 2,9,16…

50 términos de 9,12,15

85 términos de 1,11,21…

  1. términos de 2,6,10…


  1. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

En niveles intermedios resulta interesante calcular a partir de fórmulas, términos o suma de términos de progresiones geométricas. La identificación de los datos y su sustitución en la fórmula, permiten realizar operaciones para la obtención del resultado.


PROGRESIÓN GEOMÉTRICA TÉRMINO ENÉSIMO. EJEMPLO


Hallar el 6º término de 3,9,27

a=3 n=6 r=3

u=arn-1

u=3(3)6-1

u=3(3)5

u=3(243)

u=729


PROGRESIÓN GEOMÉTRICA TÉRMINO ENÉSIMO. EJERCICIO


Hallar el término:

5º de 4, 12, 36…

7º de 2,6,18…

6º de 3,12,48…

8º de 5,15,45…

10º de 2,10,50…

13º de 4,12,36…

9º de 3,15,75…

12º de 2,12,72…

15º de 1,6,36…

14º de 2,14,98…

19º de 3,24,192…


PROGRESIÓN GEOMÉTRICA SUMA DE TÉRMINOS. EJEMPLO

Hallar la suma de los primeros 6 términos de 5,20,80…

S=ur-a

r-1

u=arn-1

u=5(4)6-1

u=5(4)5

u=5(1024)

u=5120


S=5120(4)-5

4-1

S=20475/3

S=6825


PROGRESIÓN GEOMÉTRICA. SUMA DE TÉRMINOS. EJERCICIO

Sumar los primeros

5 términos de 4,16,64

6 términos de 7,21,63…

7 términos de 6,30,150…

6 términos de 2,12,72…

7 términos de 5,25,125…

8 términos de 8,24,72…

9 términos de 3,9,27…

12 términos de 5,10,20…

15 términos de 4,12,36…

20 términos de 2,10,50…

27 términos de 45,90,180…

34 términos de 10,30,90…

  1. términos de 8,32,128…



5 CÁLCULO DE POTENCIAS

Multiplicamos la base por sí misma, el número de veces indicado por el exponente.

La base es el número de tamaño grande

El exponente es el número de tamaño pequeño


EJEMPLOS DE POTENCIAS

105=10X10X10X10X10= 100,000

-173=-17X-17X-17= - 4913


-124=-12X-12X-12X-12= +20736


110=1X1X1X1X1X1X1X1X1X1= 1


(32/83)2= (32/83)(32/83)=1024/6889


.252= .25X.25 = .0625

Potencias propuestas

172, 192, 122, -162, -153 , 25 , 34 , 63, 54 , 1112, -132 , -27 , 19 , 112 , 70 , 90 , 1004, 108 , -152, 173 , 29 , 36, 163, (13/14)2, (21/52)3 , (-72/79)2, (14/19)4, 2.52, 1.52 , 462 , 972 , .352 , .892 , .153 , .134 , .125

972, 892, 1212, -1632, -1503 , 211 , 37 , 64, 55 , 1112, -1392 , -27 , -19 , -112 , 170 , 190 , 10004, 1008 , -15232, 1733 , 213 , 38, 263, (23/24)2, (31/62)3 , (-82/89)2, (24/29)4, 4.52, 3.52 , 4682 , 9792 , .3532 , .8922 , .154 , .135 , .126


6 CÁLCULO DE RAICES CUADRADAS

RESOLUCIÓN DE RAICES CUADRADAS

a) Separar el número de dos en dos posiciones de derecha a izquierda

b) Tomar el número que queda más a la izquierda después de la separación y buscar un número que multiplicado por sí mismo (0x0, 1x1,2x2,3x3,4x4,…) nos dé el número de la izquierda o se acerque más a él sin que se pase.

c) Obtener el residuo colocando el resultado de multiplicar el número por sí mismo, bajo la cifra de la izquierda y restando.

d) Bajar el siguiente par de cifras y duplicar la cantidad externa.

e) Buscar y colocar un acompañante al número duplicado exterior y multiplicar el número que se forma, por el número acompañante.

f) Obtener el residuo restando el resultado de la multiplicación, al número interior.


EJEMPLO DE RAÍZ CUADRADA


√6,25 25

4

225 45

225

00


√20,25 45

16

425 85

425

00

Raíces propuestas

121,144, 225, 625, 169, 400, 900, 289, 361, 784, 961, 1225, 1444, 1600, 2500, 2704, 3249, 4225, 6241, 7569, 8464, 9025, 15625, 21316, 54756, 66564, 316969, 622521, 970225, 1530169, 6702921, 1.44, 5.29, 9.61, 33.64, 62.41, 44.89, 166.41, 190.44, 823.69, 864.36


7. PRODUCTOS NOTABLES:

Los productos notables y la factorización constituyen elementos básicos del álgebra y se aplican en distintos procedimientos de resolución algebraica y en otros campos de la matemática, incluyendo la geometría analítica al resolver las ecuaciones generales de las cónicas, o el cálculo diferencial e integral, en la resolución de límites indeterminados.


En los productos notables, una forma certera de obtener los resultados, es la aplicación completa del procedimiento de multiplicación algebraica, lo que facilita obtener la solución de un binomio al cuadrado o al cubo, de binomios con un término común o de binomios conjugados.


BINOMIO AL CUADRADO EJEMPLO


(a+b)2= (a+b)(a+b)= a2+ab+ba+b2


Binomios al cuadrado. Ejercicio

(2a+8)2, (3b-7)2, (4b+9)2, (5c+6)2, (6d3-8)2 , (7f5+ 9)2 , (5x+4y)2, (3a-6b)2, (8d-5e)2, (10x4-11y5)2 , (20c6+30d7)2 , (4xy+9w)2, (5x2y3+9z4)2, (4a2b3c4- 5d6)2 , (7c3d6e9-8f4g6)2 , (12h5i7j9+13k3m6n9)2 , (15b2c3d4-13b3c4)2 , (11x5y7z9+14x6y8z10)2 , (2/4f2g3-3/5f4g6)2 , (3/8h6i7+5/9h8i9)2 , (1.5x9y11-2.5x10y15)2 , (1.2m5n10p15+1.3m4n9p8)2


BINOMIO AL CUBO EJEMPLO

(a+b)2= (a+b)(a+b)= (a2+ab+ba+b2)(a+b)= a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3= a3+3 a2b+3ab2+b3


Binomios al cubo. Ejercicio

(a+1)3 , (a-1)3 , (c+2)3 , (c-2)3 , (2e+3)3 , (2e-3)3 , (3g+4)3 , (3g-4)3 , (b2+5)3 , (b2-5)3




BINOMIOS CONJUGADOS


(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2= a2-b2


Binomios conjugados ejercicio

(12a+b)(12a-b) , (18x+14y)(18x-14y) ,(16a+18b)(16a-18b) , (12xy+13z)(12xy-13z) , (14a2b3-15c4)(14a2b3+15c4), (19a5+18b6)(19a5-18b6), (12d7- 11e8)(12e7+11e8), (27a2b4c6+20d8e10)(27a2b4c6-20d8e10) , (43w10x13-65y14z17)(43w10x13+65y14z17) , (-84a+95c)(84a+95c)


BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN


(a-x)(a-y)= a2-ay-ax+xy


Binomios con un término común ejercicio

(13a+7)(13a+9) , (18x+19)(18x+13), (12y-40)(12y+30), (25b+70)(25b-50) , (89a-87)(89a-98) , (29x3 -186)(29x3 +79) , (79y5 - 120) (79y5 +110) , (-97d7 -69)(-97d7 -78) , (7.8f8 +8.5)(7.8f8 +9.5) , (9.6g9 -6.9)(9.6g9 -5.7)


8. FACTORIZACIÓN

Las reglas o fórmulas resultan útiles cuando el estudiante ha entendido el proceso completo; e incluso es posible prescindir de ellas en un primer momento, aún y cuando facilitan la respuesta.


Los diferentes casos de factorización pueden resultar más comprensibles si se asocian, identifican y relacionan con los productos notables.


FACTORIZACIÓN DEL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

a2+2ab+b2=(a+b)(a+b)=(a+b)2


Factorizaciones de trinomios cuadrados perfectos. Ejercicio

9x2+30x+25= ,81a2-36a+4= , 64a4-112a2+49= , 25y2-20y+4= , 16x4+64x2y+64y2= , 121x6-132x3y2+36y4= , 144a4b6+192a2b3c4+64c8=, 169x8y12-104x4y6z8+16z16= , 225a2b2c2+210abcde+49d2e2=, 625b18-550b9c7+121c14=


FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA a2-ay-ax+xy

a2-ay-ax+xy= (a-x)(a-y)


Factorizaciones de trinomios de la forma a2-ay-ax+xy Ejercicio

x2+14x+45= , x2-10x+24= , x2-2x-35= , x2-5x-36= , x2+13x+42= , y2+6y-27= , y2-y-72= , z2-z-132= , x2+2x-63= , x2- 17x+72= , a2-2x-99= , b2+19x+70= , c2-18c+77= , d4-22d+120= ,


FACTORIZACIÓN DE LA DIFERENCIA DE CUADRADOS. EJEMPLO

a2-b2= (a+b)(a-b)


Factorización de diferencias de cuadrados. Ejercicio

16c2-9d2= , 36x4-25y4= , 121x6-36y8= , 400x12y14-49z22= , 256a4b6c8- 100d4e8= , 25a12-36b14= , 441c2d2e2-900f2g2= , 144b8c10- 121d12e14= , 400x2-225y2= , -81a4b12+64c6d14= , -169y4+625z8= , 169x6y8-196w4= , 1600f10g20h30-2500i40j50=


Factorización por factor común

b2+3b = (b)(b+3)= b2+3b

y+y3=y(1+y2)=y+y3

24a2bc2-36b2c4= 12bc2(2a2-3bc2)=24a2bc2-36b2c4


Factorización por factor común. Ejercicio

x2+xy= ; xy-yz= ; 6a3-2a2= ; b+b4= ; 8a2-12ab= ; 5a2-25a5= ; 20a3b2-30a2b3= ; 350a2b3-700a3= ; 150y30+200y20-50y10= ; 140x20y20-280x30+560x40=



9. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POLINÓMIOS

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POLINÓMIOS. EJEMPLO

(2x+7)(3x-6)= 6x2-12x+21x-42= 6x2+9x-42



2x +7

3x-6 6x2+9x-42

-6x2+12x

21x-42

-21x+42



MULTIPLICACIÓN YDIVISIÓN DE POLINÓMIOS EJERCICIO


(3x+8)(4x-7)= 12x2 -21x+32x-56= 12x2 +11x-56


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